Википедия дифференциал: Дифференциал — Википедия – Дифференциал (дифференциальная геометрия) — Википедия

Дифференциал (дифференциальная геометрия) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Обычно дифференциал f{\displaystyle f} обозначается df{\displaystyle df}. Некоторые авторы предпочитают обозначать d⁡f{\displaystyle \operatorname {d} f} шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке x{\displaystyle x} обозначается dxf{\displaystyle d_{x}f}, а иногда dfx{\displaystyle df_{x}} или df[x]{\displaystyle df[x]}. (dxf{\displaystyle d_{x}f} есть линейная функция на касательном пространстве в точке x{\displaystyle x}.)

Если v{\displaystyle v} есть касательный вектор в точке x{\displaystyle x}, то значение дифференциала на v{\displaystyle v} обычно обозначается df(v){\displaystyle df(v)}, в этом обозначении x{\displaystyle x} излишне, но обозначения dxf(v){\displaystyle d_{x}f(v)}, dfx(v){\displaystyle df_{x}(v)} и df[x](v){\displaystyle df[x](v)} также правомерны.

Используется так же обозначение f∗{\displaystyle f_{*}}; последнее связано с тем, что дифференциал f:M→N{\displaystyle f\colon M\to N} является естественным поднятием f{\displaystyle f} на касательные расслоения к многообразиям M{\displaystyle M} и N{\displaystyle N}.

Для вещественнозначных функций[править | править код]

Пусть M{\displaystyle M} — гладкое многообразие и f:M→R{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} } гладкая функция. Дифференциал f{\displaystyle f} представляет собой 1-форму на M{\displaystyle M}, обычно обозначается df{\displaystyle df} и определяется соотношением

df(X)=dpf(X)=Xf,{\displaystyle df(X)=d_{p}f(X)=Xf,}

где Xf{\displaystyle Xf} обозначает производную f{\displaystyle f} по направлению касательного вектора X{\displaystyle X} в точке p∈M{\displaystyle p\in M}.

Для отображений гладких многообразий[править | править код]

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие F:M→N{\displaystyle F\colon M\to N} есть отображение между их касательными расслоениями, dF:TM→TN{\displaystyle dF\colon TM\to TN}, такое что для любой гладкой функции g:N→R{\displaystyle g\colon N\to \mathbb {R} } имеем

[dF(X)]g=X(g∘F),{\displaystyle [dF(X)]g=X(g\circ F),}

где Xf{\displaystyle Xf} обозначает производную f{\displaystyle f} по направлению X{\displaystyle X}. (В левой части равенства берётся производная в N{\displaystyle N} функции g{\displaystyle g} по dF(X){\displaystyle dF(X)}; в правой — в M{\displaystyle M} функции g∘F{\displaystyle g\circ F} по X{\displaystyle X}).

Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.

• Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

  d(F∘G)=dF∘dG{\displaystyle d(F\circ G)=dF\circ dG} или dx(F∘G)=dG(x)F∘dxG{\displaystyle d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G}

• Пусть в открытом множестве Ω⊂R{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} } задана гладкая функция f:Ω→R{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }. Тогда df=f′dx{\displaystyle df=f’\,dx}, где f′{\displaystyle f’} обозначает производную f{\displaystyle f}, а dx{\displaystyle dx} является постоянной формой, определяемой dx(V)=V{\displaystyle dx(V)=V}.
• Пусть в открытом множестве Ω⊂Rn{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} задана гладкая функция f:Ω→R{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }. Тогда df=∑i=1n∂f∂xidxi{\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}}. Форма dxi{\displaystyle dx_{i}} может быть определена соотношением dxi(V)=vi{\displaystyle dx_{i}(V)=v_{i}}, для вектора V=(v1,v2,…,vn){\displaystyle V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})}.
• Пусть в открытом множестве Ω⊂Rn{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} задано гладкое отображение F:Ω→Rm{\displaystyle F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}}. Тогда

  dxF(v)=J(x)v,{\displaystyle d_{x}F(v)=J(x)v,}

где J(x){\displaystyle J(x)} есть матрица Якоби отображения F{\displaystyle F} в точке x{\displaystyle x}.

Метрический дифференциал — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метрический дифференциал — обобщение производной на отображения из Евклидова пространства в произвольное метрическое пространство. Впервые рассмотрен Берндом Кирхаймом.^[1]

Метрический дифференциал отображения f:Rn→X{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X} в точке x∈Rn{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} является нормой на Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} и обычно обозначается MDxf{\displaystyle MD_{x}f}.

Метрический дифференциал отображения f:Rn→X{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X} в точке x∈Rn{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} определяется как норма MDxf{\displaystyle MD_{x}f} на Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} такая, что

|f(x+v)−f(x+w))|X=MDxf(v−w)+o(|v|−|w|),{\displaystyle |f(x+v)-f(x+w))|_{X}=MD_{x}f(v-w)+o(|v|-|w|),}

где |a−b|X{\displaystyle |a-b|_{X}} обозначает расстояние между точками a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} в X{\displaystyle X}.

• Для метрического дифференциала выполняется аналог теоремы Радемахера. А именно, если f:Rn→X{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X} липшицевское, то метрический дифференциал определён в почти каждой точке области определения.
  • Прямое обобщение теоремы Радемахера невозможно поскольку метрическое пространство не обладает линейной структурой, а значит и дифференциал не может быть определён. Но даже в случае Банахова пространства X=L1([0,1]){\displaystyle X=L^{1}([0,1])} заключение теоремы не верно, например для отображения f:[0,1]→X{\displaystyle f\colon [0,1]\to X} определённое как f(x)=χ[0,x]{\displaystyle f(x)=\chi _{[0,x]}}. То есть производная f{\displaystyle f} нигде не определена при том, что отображение липшицевское и даже сохраняет расстояния.

Абелев дифференциал — Википедия

А́белев дифференциа́л — голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности S{\displaystyle S}.

Пусть g{\displaystyle g} — род поверхности S;a1b1a2b2…agbg{\displaystyle S;a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\ldots a_{g}b_{g}} — циклы канонического базиса гомологий S{\displaystyle S}. В зависимости от характера особенностей различают Абелев дифференциал трёх родов: I, II и III, причём имеют место строгие включения: I⊂II⊂III{\displaystyle {\mbox{I}}\subset {\mbox{II}}\subset {\mbox{III}}}.

Абелев дифференциал I рода — это голоморфные всюду на S{\displaystyle S} дифференциалы 1-го порядка, которые в окрестности U{\displaystyle U} каждой точки P0∈S{\displaystyle P_{0}\in S} имеют вид ω=pdz=p(z)dz{\displaystyle \omega =pdz=p(z)dz}, где z=x+iy{\displaystyle z=x+iy} — локальная униформизирующая переменная в U{\displaystyle U}, dz=dx+idy{\displaystyle dz=dx+idy}, а p(z){\displaystyle p(z)} — голоморфная, или регулярная, аналитическая функция от z{\displaystyle z} в U{\displaystyle U}. Сложение абелева дифференциала и умножение на голоморфную функцию определяется естественными правилами: если

ω=pdz,π=qdz,a=a(z){\displaystyle \omega =pdz,\pi =qdz,a=a(z)},

то

ω+π=(p+q)dz,aω=(ap)dz{\displaystyle \omega +\pi =(p+q)dz,a\omega =(ap)dz}.

Абелев дифференциал I рода образуют векторное пространство A{\displaystyle {\mathfrak {A}}} размерности g{\displaystyle g}. После введения скалярного произведения

(ω,π)=∬Sω∗π¯{\displaystyle (\omega ,\pi )=\iint _{S}\omega *{\overline {\pi }}},

где ω∗π¯{\displaystyle \omega *{\overline {\pi }}} — внешнее произведение ω{\displaystyle \omega } на звёздно сопряжённый дифференциал π¯{\displaystyle {\overline {\pi }}}, пространство A{\displaystyle {\mathfrak {A}}} превращается в гильбертово пространство.

Пусть A1′,B1′,A2′,B2′,…,Ag′,Bg′{\displaystyle A_{1}^{\prime },B_{1}^{\prime },A_{2}^{\prime },B_{2}^{\prime },\ldots ,A_{g}^{\prime },B_{g}^{\prime }} суть A{\displaystyle A}- и B{\displaystyle B}-периоды абелева дифференциала I рода ω{\displaystyle \omega }, то есть интегралы

Aj=∫ajω,Bj=∫bjω,j=1,2,…,g{\displaystyle A_{j}=\int _{a_{j}}\omega ,B_{j}=\int _{b_{j}}\omega ,j=1,2,\ldots ,g}.

Тогда имеет место соотношение:

‖ω‖2=i∑j=1g(AjB¯j−BjA¯j)≥0{\displaystyle {\|\omega \|}^{2}=i\sum _{j=1}^{g}\left(A_{j}{\overline {B}}_{j}-B_{j}{\overline {A}}_{j}\right)\geq 0}.

(1)

Если A1′,B1′,A2′,B2′,…,Ag′,Bg′{\displaystyle A_{1}^{\prime },B_{1}^{\prime },A_{2}^{\prime },B_{2}^{\prime },\ldots ,A_{g}^{\prime },B_{g}^{\prime }} — периоды другого абелева дифференциала I рода π{\displaystyle \pi }, то

i(ω,π¯)=∑j=1g(AjBj′−BjAj′)=0{\displaystyle i(\omega ,{\overline {\pi }})=\sum _{j=1}^{g}\left(A_{j}B_{j}^{\prime }-B_{j}A_{j}^{\prime }\right)=0}.

(2)

Соотношения (1) и (2) называются билинейными соотношениями Римана для абелевых дифференциалов I рода. Канонический базис абелева дифференциала I рода, то есть канонический базис ϕ1,ϕ2,…ϕg{\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\ldots \phi _{g}} пространства A{\displaystyle {\mathfrak {A}}}, выбирается таким образом, что

Aij=∫aiφi=δij{\displaystyle A_{ij}=\int _{a_{i}}\varphi _{i}=\delta _{ij}},

где δii=1{\displaystyle \delta _{ii}=1} и δij=0{\displaystyle \delta _{ij}=0} при j≠i{\displaystyle j\neq i}. При этом матрица (Bij),i,j=1,2…,g,B{\displaystyle (B_{ij}),i,j=1,2\ldots ,g,B}-периодов

Bij=∫bjφij{\displaystyle B_{ij}=\int _{b_{j}}\varphi _{ij}}

симметрическая, а матрица мнимых частей (ImBij){\displaystyle (\operatorname {Im} \;B_{ij})} положительно определённая. Абелев дифференциал первого рода, у которого все A{\displaystyle A}-периоды или все B{\displaystyle B}-периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды абелева дифференциала I рода ω{\displaystyle \omega } действенны, то ω=0{\displaystyle \omega =0}.

• Неванлинна, Р. Униформизация / Р. Неванлинна ; пер. с нем. — М. : Иноиздат, 1955. — 435 с.
• Спрингер, Дж. Введение в теорию римановых поверхностей / Дж. Спрингер ; пер. с англ. Л. А. Маркушевич и Г. Ц. Тумаркина. — М. : Иноиздат, 1960. — 343 с.
• Чеботарёв, Н. Г. Теория алгебраических функций / Н. Г. Чеботарёв. — М. ; Л. : Гостехлитиздат, 1948. — 397 с.

Кэлеров дифференциал — Википедия

Кэлеровы дифференциалы представляют собой адаптацию дифференциальных форм для произвольных коммутативных колец или схем. Это понятие было введено Эрихом Кэлером в 1930-х.

Пусть R{\displaystyle R} и S{\displaystyle S} — коммутативные кольца и φ:R→S{\displaystyle \varphi :R\to S} — гомоморфизм колец. Важный пример — это когда R{\displaystyle R} является полем, а S{\displaystyle S} — унитальной алгеброй над R{\displaystyle R} (такой, как координатное кольцо аффинного многообразия). Кэлеровы дифференциалы формализуют то наблюдение, что производная многочлена снова является многочленом. В этом смысле понятие дифференцирования может быть выражен чисто алгебраически. Это наблюдение можно превратить в определение модуля дифференциалов

ΩS/R.{\displaystyle \Omega _{S/R}.}

несколькими эквивалентными способами.

Определение при помощи дифференцирований[править | править код]

R{\displaystyle R}-линейное дифференцирование алгебры S{\displaystyle S} — это гомоморфизм R{\displaystyle R}-модулей d:S→M{\displaystyle d\colon S\to M} в S{\displaystyle S}-модуль M{\displaystyle M}, содержащий образ R{\displaystyle R} в своём ядре и удовлетворяющий правилу Лейбница d(fg)=fdg+gdf{\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}. Модуль кэлеровых дифференциалов определяется как S{\displaystyle S}-модуль ΩS/R{\displaystyle \Omega _{S/R}}, для которого существует универсальное дифференцирование d:S→ΩS/R{\displaystyle d\colon S\to \Omega _{S/R}}. Как и с другими универсальными свойствами, это значит, что d — это наилучшее возможное дифференцирование, в том смысле, что любое другое дифференцирование может быть получено из него при помощи композиции с гомоморфизмом S{\displaystyle S}-модулей. Другими словами, композиция с d индуцирует, для любого S{\displaystyle S}-модуля M, изоморфизм S{\displaystyle S}-модулей

HomS⁡(ΩS/R,M)→≅DerR⁡(S,M).{\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}

Конструкцию Ω_S/R и d можно произвести путём построения свободного S{\displaystyle S}-модуля с одной образующей ds для каждого s{\displaystyle s} из S{\displaystyle S} и факторизации по соотношениям

• dr = 0,
• d(s + t) = ds + dt,
• d(st) = s dt + t ds,

для всех r{\displaystyle r} из R{\displaystyle R} и всех s{\displaystyle s} и t{\displaystyle t} из S{\displaystyle S}. Универсальное дифференцирование переводит s{\displaystyle s} в ds{\displaystyle ds}. Из соотношений следует, что универсальное дифференцирование является гомоморфизмом R{\displaystyle R}-модулей.

Определение при помощи аугментационного идеала[править | править код]

Другая конструкция производится путём рассмотрения идеала I{\displaystyle I} в тензорном произведении S⊗RS{\displaystyle S\otimes _{R}S}, определяемого как ядро отображения умножения S⊗RS→S,Σsi⊗ti↦Σsi⋅ti{\displaystyle S\otimes _{R}S\to S,\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i}}. Тогда модулю кэлеровых дифференциалов может быть определён как^[1]Ω_S/R = I / I², а универсальное дифференцирование — как гомоморфизм

d, определяемый формулой

ds=1⊗s−s⊗1.{\displaystyle ds=1\otimes s-s\otimes 1.}

Чтобы увидеть, что эта конструкция эквивалентна предыдущей, заметим, что I является ядром проекции S⊗RS→S⊗RR{\displaystyle S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R}, задаваемой формулой Σsi⊗ti↦Σsi⋅ti⊗1{\displaystyle \Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1}. Поэтому мы имеем:

S⊗RS≡I⊕S⊗RR.{\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}

Тогда S⊗RS/S⊗RR{\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R} может быть отождествлено с I путём отображения, индуцируемого дополнительной проекцией Σsi⊗ti↦Σsi⊗ti−Σsi⋅ti⊗1{\displaystyle \Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\otimes t_{i}-\Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1}. Это отождествляет I{\displaystyle I} с S{\displaystyle S}-модулем, порождённым формальными образующими ds{\displaystyle ds} для s{\displaystyle s} из S{\displaystyle S}, причём d{\displaystyle d} является гомоморфизмом R{\displaystyle R}-модулей, переводящим любой элемент R{\displaystyle R} в ноль. Факторизация по I2{\displaystyle I^{2}} в точности накладывает правило Лейбница.

Для любого коммутативного кольца R, кэлеровы дифференциалы кольца многочленов S=R[t1,…,tn]{\displaystyle S=R[t_{1},\dots ,t_{n}]} образуют свободный S-модуль ранга n, порождённый дифференциалами переменных:

ΩR[t1,…,tn]/R1=⨁i=1nR[t1,…tn]dti.{\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\dots ,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R[t_{1},\dots t_{n}]\,dt_{i}.}

Кэлеровы дифференциалы согласуются с расширением скаляров, в том смысле, что для второй R-алгебры R′ и для S′=R′⊗RS{\displaystyle S’=R’\otimes _{R}S} существует изоморфизм

ΩS/R⊗SS′≅ΩS′/R′.{\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}S’\cong \Omega _{S’/R’}.}

В частности, кэлеровы дифференциалы согласуются с локализациями, в том смысле, что если W — это мультипликативное подмножество S, то существует изоморфизм

W−1ΩS/R≅ΩW−1S/R.{\displaystyle W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.}

Если даны два гомоморфизма R→S→T{\displaystyle R\to S\to T}, то существует короткая точная последовательность T-модулей

ΩS/R⊗ST→ΩT/R→ΩT/S→0.{\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.}

Если T=S/I{\displaystyle T=S/I} для некоторого идеала I, то член ΩT/S{\displaystyle \Omega _{T/S}} зануляется и последовательность продолжается влево следующим образом:

I/I2→[f]↦df⊗1ΩS/R⊗ST→ΩT/R→0.{\displaystyle I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to 0.}

Так как кэлеровы дифференциалы согласованы с локализацией, их можно построить на общей схеме, применяя любое из приведённых выше определений для аффинных схем и склеивая. Однако второе определение имеет геометрическую интерпретацию, которая глобализуется немедленно. В этой интерпретации I представляет идеал, задающий диагональ в расслоенном произведении Spec(S) на себя над Spec(S) → Spec(R). Эта конструкция более геометрична, в том смысле, что она отражает понятие первой инфинитезимальной окрестности диагонали, при помощи зануляющихся на ней функций по модулю функций, зануляющихся во втором порядке. Более того, это можно обобщить на произвольный морфизм схем f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}, определяя I{\displaystyle {\mathcal {I}}} как идеал диагонали в расслоенном произведении X×YX{\displaystyle X\times _{Y}X}. Кокасательный пучок ΩX/Y=I/I2{\displaystyle \Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}, вместе с дифференцированием d:OX→ΩX/Y{\displaystyle d\colon {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}, определяющимся аналогично предыдущему, является универсальным среди f−1OY{\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}-линейных дифференцирований OX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}-модулей. Если U — открытая аффинная подсхема X, образ которой в Y содержится в открытой аффинной подсхеме V, то кокасательный пучок ограничивается на пучок на U, который также универсален. Следовательно, это пучок, ассоциированный с модулем кэлеровых дифференциалов для колец, соответствующих U и V.

Аналогично коммутативно-алгебраическому случаю, существуют точные последовательности, ассоциированные с морфизмами схем. Если даны морфизмы схем f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y} и g:Y→Z{\displaystyle g:Y\to Z}, то существует точная последовательность пучков на X{\displaystyle X}

f∗ΩY/Z→ΩX/Z→ΩX/Y→0{\displaystyle f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0}

Также, если Z⊂X{\displaystyle Z\subset X} — это замкнутая подсхема, заданная пучком идеалов I{\displaystyle {\mathcal {I}}}, то существует точная последовательность пучков

II2→ΩX/Y⊗OZ→ΩZ/Y→0{\displaystyle {\frac {\mathcal {I}}{{\mathcal {I}}^{2}}}\to \Omega _{X/Y}\otimes {\mathcal {O}}_{Z}\to \Omega _{Z/Y}\to 0}

на Z{\displaystyle Z}

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.

Обсуждение:Дифференциал (механика) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Почему первой строкой в описании назначения идет «В моделях автомобилей и картах ведущие колёса находятся на одной общей оси.»? Ведь в первую очередь речь идет об обыкновенных автомобилях. Daern 17:35, 11 декабря 2010 (UTC)

Статья содержит целый ряд принципиальных ошибок и порцию откровенной безграмотности. Необходимо переписать. 89.178.219.172 01:18, 27 января 2008 (UTC)

Активныфй дифференциал, насколько я знаю, был запрещён в Ф1 в 2002 г. Сравнивал регламенты. Mercury 11:29, 18 января 2007 (UTC)

Суммарная скорость точно не увеличится. Увеличится усилие на свободную полуось. В дополнение скажу, что скорость вращения любой полуоси не может быть больше скорости вращения корпуса.—82.193.155.236 15:31, 10 августа 2010 (UTC)

Это не так, скорость вращения полуоси может быть больше скорости вращения корпуса. Например, если второе колесо полностью заблокировано.109.173.10.187 14:40, 6 октября 2010 (UTC)

Удалил вот этот фрагмент текста из раздела «Устройство»:

На youtube есть наглядная демонстрация принципа работы дифференциала. Называется «Как работает дифференциал», можно легко найти через встроенный поиск сервиса. Видео на английском языке. Судя по логотипу в конце, производства фирмы «Шевроле». Тем не менее в части описания принципа работы смысл понятен даже без знания языка, благодаря очень наглядной демонстрации от простого к сложному. Посмотреть можно здесь

Во-первых, стиль изложения, не сответствующий энциклопедии. Никакого пояснения устройства дифференциала в тексте нет.(Всё-таки Википедии это не форум, где люди делятся своим мнением). Во-вторых, ссылка на это видео уже есть в разделе «Ссылки». —Дмитрий Сутягин 07:24, 21 октября 2012 (UTC)

Буду переименовывать в Дифференциал (механика). Иначе придётся делать Дифференциал (танк), Дифференциал (корабль) и т.п. —Чобиток Василий 20:58, 14 ноября 2007 (UTC)

После переименования статья вводит в заблуждение, что дифференциал это прерогатива исключительно автомобилей, плюс изобилие автомобильного сленга окончательно сбивает с толку (для сравнения статья на английском). Дифференциал изначально был изобретён как средство для произведения арифметических операций над скоростями вращения шестерёнок и успешно использовался в часах и арифмометрах прежде, чем был поставлен на паровую повозку. Поскольку механиков-историков здесь всё равно нет, то хотя бы введение поправьте. 2.206.0.21 21:43, 13 сентября 2011 (UTC)

• Вам никто не мешает самому внести соответствующие изменения. Все будут только рады —Ванька Иваныч 02:36, 14 сентября 2011 (UTC)

«При езде на таких автомобилях нельзя включать блокировку, когда автомобиль движется»[править код]

Это о ручной блокировке. Странно — я свою включаю *ТОЛЬКО* на ходу. Более того ее *рекомендуют* включать на ходу. Причина проста — чтобы заблокироваться надо немножко «продифференциалить», т.е. немного повернуть полуоси друг относительно друга чтобы шестерни зацепились. Вот чего категорически нельзя делать так это включать когда автомобиль буксует Serg 05:14, 22 января 2009 (UTC)

Необходимость дифференциала[править код]

Насколько я понял,необходимость дифференциала обусловлена не ездой по поворотам, а ездой с газом по поворотам. Если на повороте бросить газ, то его можно будет пройти без пробуксовки, ведь так? 95.105.20.64 08:17, 7 сентября 2017 (UTC)

Нет. Дифференциал работает независимо от того, есть в повороте тяга на ведущих колёсах или нет. —Игорь Петров СПб (обс.) 13:26, 21 сентября 2017 (UTC)

Дифференциал не является редуктором[править код]

Хотя бы потому, что главная задача редуктора — редукция крутящего момента. А в дифференциале в общем случае редукции крутящего момента не происходит. Каков крутящий момент на вхоже в дифференциал, таков он и на выходе (в виде суммы моментов на обоих ведомых звеньях). И то же самое с частотой вращения: какова она на входе в дифференциал, такова она и на выходе.

Есть редкие типы дифференциалов, которые одновременно и дифференциалы и редукторы. Но это частный случай, исключение из общего правила в некотором роде. В статье они никак не отражены и не упомянуты, но это лишь недостаток статьи.

Воможно, преамбулу стоит написать короче и красивее. Но в любом случае неверно указывать, что дифференциал является редуктором.

Дифференциальная форма — Википедия

Дифференциа́льная фо́рма порядка k{\displaystyle k} или k{\displaystyle k}-форма — кососимметрическое тензорное поле типа (0,k){\displaystyle (0,k)} на многообразии.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство k{\displaystyle k}-форм на многообразии M{\displaystyle M} обычно обозначают Ωk(M){\displaystyle \Omega ^{k}(M)}.

Инвариантное[править | править код]

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени k{\displaystyle k}, или просто k{\displaystyle k}-форма — это гладкое сечение ∧kT∗M{\displaystyle \wedge ^{k}T^{*}M}, то есть k{\displaystyle k}-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

Через локальные карты[править | править код]

k{\displaystyle k}-формой на Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} будем называть выражение следующего вида

ω=∑1⩽i1<i2<…<ik⩽nfi1i2…ik(x1,…,xn)dxi1∧dxi2∧…∧dxik{\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}

где fi1i2…ik{\displaystyle f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}} — гладкие функции, dxi{\displaystyle dx^{i}} — дифференциал i{\displaystyle i}-ой координаты xi{\displaystyle x^{i}} (функция от вектора, возвращающая его координату с номером i{\displaystyle i} ), а ∧{\displaystyle \wedge } — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

• Для k{\displaystyle k}-формы ω{\displaystyle \omega }, её внешний дифференциал (также просто дифференциал) это (k+1){\displaystyle (k+1)}-форма, в координатах имеющая вид dω=∑1⩽i1<i2<…<ik⩽n∑1⩽j⩽n∂fi1i2…ik∂xj(x1,…,xn)dxj∧dxi1∧dxi2∧…∧dxik{\displaystyle d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots ,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}

ivω(u1,…,un−1)=ω(v,u1,…,un−1){\displaystyle i_{\mathbf {v} }\omega (u_{1},\dots ,u_{n-1})=\omega (\mathbf {v} ,u_{1},\dots ,u_{n-1})}

• Для дифференциалов форм ωF{\displaystyle \omega _{F}} векторного поля F{\displaystyle F} справедливо:

d(dωF)=0{\displaystyle d(d\omega _{F})=0}

d(ωF0)=ωgradF1{\displaystyle d(\omega _{F}^{0})=\omega _{gradF}^{1}}

d(ωF1)=ωrotF2{\displaystyle d(\omega _{F}^{1})=\omega _{rotF}^{2}}

d(ωF2)=ωdivF3{\displaystyle d(\omega _{F}^{2})=\omega _{divF}^{3}}

d(ωF3)=ωL2F4{\displaystyle d(\omega _{F}^{3})=\omega _{L2F}^{4}}

• Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от k{\displaystyle k} векторов.
• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

   d(ωk∧ωp)=(dωk)∧ωp+(−1)kωk∧(dωp){\displaystyle \ d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})}

• Для любой формы справедливо d(dω)=0{\displaystyle d(d\omega )=0}.

Векторный анализ[править | править код]

Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть I{\displaystyle I} — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, а ∗{\displaystyle *} — оператор дуальности Ходжа (который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогда ротор и дивергенцию можно определить следующим способом:

rotv=∗dI(v){\displaystyle \operatorname {rot} \,v=*\,d\,I(v)}

divv=∗−1d∗(v){\displaystyle \operatorname {div} \,v=*^{-1}d\,*(v)}

Дифференциальные формы в электродинамике[править | править код]

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

F=12Fabdxa∧dxb.{\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.}

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид

J=Jaεabcddxb∧dxc∧dxd.{\displaystyle {\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.}

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

dF=0{\displaystyle \mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}}

d∗F=J{\displaystyle \mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}}

где ∗{\displaystyle *} — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма ∗F{\displaystyle *\mathbf {F} } также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика[править | править код]

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие M{\displaystyle M} с заданными на нём симплектической формой ω{\displaystyle \omega } и функцией H{\displaystyle H}, называемой функцией Гамильтона. ω{\displaystyle \omega } задаёт в каждой точке X∈M{\displaystyle X\in M} изоморфизм I{\displaystyle I} кокасательного TX∗M{\displaystyle T_{X}^{*}M} и касательного TXM{\displaystyle T_{X}M} пространств по правилу

dH(u)=ω(IdH,u),  ∀u∈TXM{\displaystyle dH(\mathbf {u} )=\omega (IdH,\mathbf {u} ),~~\forall \mathbf {u} \in T_{X}M},

где dH{\displaystyle dH} — дифференциал функции H{\displaystyle H}. Векторное поле IdH{\displaystyle IdH} на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций F{\displaystyle F} и G{\displaystyle G} на M{\displaystyle M} определяется по правилу

[F,G]=ω(IdF,IdG){\displaystyle [F,G]=\omega (IdF,IdG)}

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от k{\displaystyle k} векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на M{\displaystyle M} со значениями в векторном расслоении π:E→M{\displaystyle \pi \colon E\to M} определяются как сечения тензорного произведения расслоений

(⋀kT∗M)⊗ME{\displaystyle \left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}E}

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение TM{\displaystyle TM}.

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1973.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

дифференциал — Викисловарь

Морфологические и синтаксические свойства[править]

падеж	ед. ч.	мн. ч.
Им.	дифференциа́л	дифференциа́лы
Р.	дифференциа́ла	дифференциа́лов
Д.	дифференциа́лу	дифференциа́лам
В.	дифференциа́л	дифференциа́лы
Тв.	дифференциа́лом	дифференциа́лами
Пр.	дифференциа́ле	дифференциа́лах

диф-фе-рен-ци-а́л

Существительное, неодушевлённое, мужской род, 2-е склонение (тип склонения 1a по классификации А. А. Зализняка).

Корень: -дифференци-; суффикс: -ал ^{[Тихонов, 1996]}.

Произношение[править]

• МФА: [dʲɪfʲɪrʲɪnt͡sɨˈaɫ]

Семантические свойства[править]

Значение[править]

1. матем. функционал, отражающий линейную часть приращения функции; обобщение производной ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).
2. техн. автомоб. устройство, передающее вращение на два вала (в автомобиле — на ведущие колёса), но позволяющее им вращаться несинхронно ◆ Симметричный межколесный дифференциал в случае малого внутреннего трения распределяет крутящий момент поровну между полуосями. Кленников В. М., ‎Кленников Е. В., «Теория и конструкция автомобиля», 2016 г.

Синонимы[править]

Антонимы[править]

Гиперонимы[править]

Гипонимы[править]

Родственные слова[править]

Этимология[править]

Происходит от ??

Фразеологизмы и устойчивые сочетания[править]

Перевод[править]

Список переводов

Библиография[править]